Mi tarea de Geogebra: FUNCIONES DE VALOR ABSOLUTO

FUNCIONES DE VALOR ABSOLUTO

FUNCIONES DE VALOR ABSOLUTO

¿QUE SON?

Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real $a\,$ está definido por:² $|a| = \left \{ \begin{array}{rcl} a, & \mbox{si} & a \ge 0 \\ -a, & \mbox{si} & a < 0 \end{array} \right .$

Por definición, el valor absoluto de $a\,$ siempre será mayor o igual que cero y nunca negativo.
Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real $a\,$ es siempre positivo o cero, pero nunca negativo. En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distancia entre ellos. De hecho, el concepto de función distancia o métrica en matemáticas se puede ver como una generalización del valor absoluto de la diferencia, a la distancia a lo largo de la recta numérica realPropiedades fundamentales

$|a| \ge 0$ No negatividad

$|a| = 0 \iff a = 0$ Definición positiva

$|ab| = |a| |b|\,$ Propiedad multiplicativa

$|a+b| \le |a| + |b|$ Desigualdad triangular (Véase también Propiedad aditiva)

Otras propiedades

$|-a| = |a|\,$ Simetría

$|a-b| = 0 \iff a = b$ Identidad de indiscernibles

$|a-b| \le |a-c| + |c-b|$ Desigualdad triangular

$|a-b| \ge ||a| - |b||$ (equivalente a la propiedad aditiva)

$\left| \frac {a}{b}\right| = \frac {|a|}{|b|} (si \ b \ne 0)$ Preservación de la división (equivalente a la propiedad multiplicativa)

Otras dos útiles inecuaciones son:

$|a| \le b \iff -b \le a \le b$

$|a| \ge b \iff a \le -b \vee b \le a$

Estas últimas son de gran utilidad para la resolución de inecuaciones, como por ejemplo:

$|x-3| \le 9$ $\iff -9 \le x-3 \le 9$

$\iff -6 \le x \le 12$

El conjunto de los reales con la norma definda por el valor absoluto $(\R,|\cdot|)$ es un espacio de Banach.^{[cita requerida]}Valor absoluto de un número complejoEl valor absoluto de un número complejo $z\,$ es la distancia $r\,$ desde $z\,$ al origen. Aquí vemos que $z\,$ y su conjugado $\bar{z}\,$ tienen el mismo valor absoluto.
Como los números complejos no conforman un conjunto ordenado en el sentido de los reales, la generalización del concepto no es directa, sino que requiere de la siguiente identidad, que proporciona una definición alternativa y equivalente para el valor absoluto:
$|a| = \sqrt{a^2}$
De esta manera, dado cualquier número complejo de la forma
$z = x + iy\,$
con x e y números reales, el valor absoluto o módulo de z está definido formalmente por:
$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$
Como los números complejos son una generalización de los números reales, es lógico que podamos representar a estos últimos también de esta forma:
$|x + i0| = \sqrt{x^2 + 0^2} = \sqrt{x^2} = |x|$
De modo similar a la interpretación geométrica del valor absoluto para los números reales, se desprende delTeorema de Pitágoras que el valor absoluto de un número complejo corresponde a la distancia en el plano complejo de ese número hasta el origen, y más en general, que el valor absoluto de la diferencia de dos números complejos es igual a la distancia entre ellos.
PropiedadesEl valor absoluto de los complejos comparte todas las propiedades vistas anteriormente para los números reales. Además, si
$z = x + i y = r (\cos \phi + i \sin \phi ) \,$
y
$\bar{z} = x - iy$
es el conjugado de z, entonces se verifica que:

$|z| = r\,$
$|z| = |\bar{z}|$
$|z| = \sqrt{z\bar{z}}$
Esta última fórmula es la versión compleja de la primera identidad en los reales que mencionamos en esta sección.
Como los números reales positivos forman un subgrupo de los números complejos bajo el operador de multiplicación, podemos pensar en el valor absoluto como un endomorfismo del grupo multiplicativo de los números complejos.

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Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com

7 Agosto 2013, Creado con GeoGebra

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