Mi tarea de Geogebra: FUNCIONES EXPONENCIALES

FUNCIONES EXPONENCIALES

GRAFICA DE GEOGEBRA

¿QUE SON?

Funciones exponenciales
Gráfica de Funciones exponenciales
Definición	$e^x , \exp(x)\,$
Tipo	Función real
Dominio	$(-\infty,+\infty)$
Codominio	$(0,+\infty)$
Imagen	$(0,+\infty)$
Propiedades	Biyectiva Convexa Estrictamente creciente Trascendente
Cálculo infinitesimal
Derivada	$e^x \,$
Función primitiva	$e^x \,$
Función inversa	$\ln(x)\,$
Límites	$\lim_{x\to -\infty}\exp(x)= 0\,$ $\lim_{x\to+\infty}\exp(x)=+\infty\,$
Funciones relacionadas	Logaritmo

La función exponencial, es conocida formalmente como la función real e^x, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828...; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=e^x o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.
En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en basea si tiene la forma
$E(x)=K \cdot a^x$
siendo a, K ∈ R números reales, con a > 0. Así pues, se obtiene un abanico de exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la base a que utilicen.
La función exponencial e^x puede ser definida de diversas maneras equivalentes entre sí, como una serie infinita. En particular puede ser definida como una serie de potencias:
$e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \ldots$
o como el límite de la sucesión:
$e^x = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + {x \over n} \right)^n$
Propiedades: La función exponencial (y exponenciales en base distinta a e) satisfacen las siguientes propiedades generales.

Son las únicas funciones que son igual a su derivada (multiplicada por una constante, en el caso de que tengan una base distinta a e)

$\exp(x+y) = \exp(x) \cdot \exp(y)$

$\exp(x-y) = \exp(x) / \exp(y) \,$

$\exp(-x) = {1 \over \exp(x)}$

$\exp(0) = 1 \,$

DerivadaLa importancia de las funciones exponenciales en matemática y ciencias radica principalmente de las propiedades de su derivada. En particular,
${d \over dx} e^x = e^x$
Es decir, e^x es su propia derivada . Es la única función con esa propiedad (sin tomar en cuenta la multiplicación de la función exponencial por una constante). Otras formas de expresar lo anterior:

La pendiente del gráfico en cualquier punto es la altura de la función en ese punto.

La razón de aumento de la función en x es igual al valor de la función en x.

La función es solución de la ecuación diferencial $y'=y$ .

Si la base de la función exponencial es cualquier número real a mayor que 0, entonces su derivada se puede generalizar así:
${d \over dx} a^x = a^x \cdot \ln(a)$
donde la función ln(a) es el logaritmo natural de a. En el caso particular de a = e resulta que ln(e) = 1 y por lo tanto $\textstyle {d \over dx} e^x = e^x$ .

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Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com

7 Agosto 2013, Creado con GeoGebra

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